Vitesse (orbite elliptique)

On considère ici des trajectoires elliptiques de satellites, tournant autour de la Terre de centre O, de masse MT = 5,98 · 1024 kg et de rayon
RT = 6,4 · 103 km.
La constante de gravitation universelle G vaut :
G = 6,67 · 10-11 S.I.
L’équation d’une ellipse de demi grand axe a et d’excentricité e, dans le plan orbital, est de la forme :
1 / r =  avec  e < 1
où : 
• r est la distance entre le centre O de la Terre et la position M du satellite à une date t.
• q est l’angle entre le grand axe et le « rayon » vecteur .

1. Tracer les trajectoires définies par les conditions initiales suivantes, les qualifier puis mesurer pour chacune la distance OM minimum (rmin) et la distance OM maximum (rmax).
Pour l’altitude 40 000 km et l’angle avec le rayon 90 °, prendre des vitesses de 3 300 m · s-1 et 
2 100 m · s-1.	
    
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1.a. En utilisant l’équation de l’ellipse trajectoire, exprimer le rapport rmax / rmin en fonction de l’excentricité e.

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1.b. En déduire une méthode de mesure de l’excentricité d’une ellipse.
Calculer la valeur de l’excentricité de chacune des ellipses précédentes.

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1.c. Comment évolue la forme d’une ellipse quand son excentricité augmente (utiliser le bouton plan orbital) ? 

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2. Donner l’expression du demi-grand axe a d’une trajectoire elliptique en fonction des distances rmax   et rmin. 
Calculer sa valeur pour la deuxième trajectoire.

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3. Pour cette trajectoire, donner, en différents points de l’orbite, la vitesse en fonction du rayon vecteur 
 = .

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4.a. Tracer le graphe donnant l’évolution de la grandeur v2 avec la grandeur ( )

4.b. Comment le modéliser ? En déduire l’existence d’une relation numérique simple entre ces deux grandeurs.

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4.c. Comparer le coefficient caractéristique de la relation obtenue et le produit G MT.

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4.d. Le mouvement d’un satellite décrivant une orbite elliptique peut-il être uniforme ? 
Justifier de deux façons différentes.

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4.e. En quels points la vitesse est-elle extrémale ?

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4.f. On veut modifier la trajectoire du satellite à l’aide d’un moteur fusée qui lui donnera une variation de vitesse donnée Dv, pendant un temps très court.
En quel point de la trajectoire faut-il déclencher le moteur pour avoir la plus grande efficacité ?

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