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Vitesse (orbite elliptique)

On considère ici des trajectoires elliptiques de satellites, tournant autour de la Terre de centre O, de masse MT = 5,98 · 1024 kg et de rayon
RT = 6,4 · 103 km.
La constante de gravitation universelle G vaut :
G = 6,67 · 10-11 S.I.
L’équation d’une ellipse de demi grand axe a et d’excentricité e, dans le plan orbital, est de la forme :
1 / r =  avec  e < 1
où : 
• r est la distance entre le centre O de la Terre et la position M du satellite à une date t.
• q est l’angle entre le grand axe et le « rayon » vecteur .

1. Tracer les trajectoires définies par les conditions initiales suivantes, les qualifier puis mesurer pour chacune la distance OM minimum (rmin) et la distance OM maximum (rmax).
Pour l’altitude 40 000 km et l’angle avec le rayon 90 °, prendre des vitesses de 3 300 m · s-1 et 
2 100 m · s-1.	
    
Les trajectoires sont elliptiques.
• Pour la vitesse v = 3 300 m · s-1, rmin = 46 400 km et rmax = 78 600 km.
• Pour la vitesse v = 2 100 m · s-1, rmin = 15 900 km et rmax = 46 400 km.

1.a. En utilisant l’équation de l’ellipse trajectoire, exprimer le rapport rmax / rmin en fonction de l’excentricité e.

On trouve rmax / rmin = (1 + e) / (1 - e)

1.b. En déduire une méthode de mesure de l’excentricité d’une ellipse.
Calculer la valeur de l’excentricité de chacune des ellipses précédentes.

Le résultat précédent donne e = .

On obtient ainsi e1 = 0,26 et e2 = 0,49.

1.c. Comment évolue la forme d’une ellipse quand son excentricité augmente (utiliser le bouton plan orbital) ? 

Elle devient de plus en plus « aplatie » suivant la direction du grand axe

2. Donner l’expression du demi-grand axe a d’une trajectoire elliptique en fonction des distances rmax   et rmin. 
Calculer sa valeur pour la deuxième trajectoire.

En traçant l’ellipse, il est clair que a = (rmax + rmin) / 2.
Pour la deuxième trajectoire, on trouve :
a = 31 150 km

3. Pour cette trajectoire, donner, en différents points de l’orbite, la vitesse en fonction du rayon vecteur 
 = .

• Pour r = 45 113 km, v = 2 213 m · s-1
• Pour r = 39 170 km, v = 2 756 m · s-1
• Pour r = 34 960 km, v = 3 173 m · s-1
• Pour r = 32 380 km, v = 3 450 m · s-1
• Pour r = 22 116 km, v = 4 839 m · s-1
• Pour r = 21 125 km, v = 5 012 m · s-1
• Pour r = 16 057 km, v = 6 093 m · s-1

4.a. Tracer le graphe donnant l’évolution de la grandeur v2 avec la grandeur ( )

4.b. Comment le modéliser ? En déduire l’existence d’une relation numérique simple entre ces deux grandeurs.

On modélise par une droite passant par l’origine d’où :
v2 = k (  ) avec k =4,0 · 1014  S.I.

4.c. Comparer le coefficient caractéristique de la relation obtenue et le produit G MT.

On a k = G MT puisque les valeurs et les dimensions des deux grandeurs sont identiques.

4.d. Le mouvement d’un satellite décrivant une orbite elliptique peut-il être uniforme ? 
Justifier de deux façons différentes.

Non, d’après la relation précédente, la vitesse varie avec la distance r du satellite au centre de la Terre . 
On peut aussi justifier à l’aide de la deuxième loi de Kepler.

4.e. En quels points la vitesse est-elle extrémale ?

La vitesse est minimale quand r est maximum, elle est maximale quand r est minimum

4.f. On veut modifier la trajectoire du satellite à l’aide d’un moteur fusée qui lui donnera une variation de vitesse donnée Dv, pendant un temps très court.
En quel point de la trajectoire faut-il déclencher le moteur pour avoir la plus grande efficacité ?

On a la plus grande efficacité quand on obtient la plus grande variation d’énergie cinétique DE du satellite pour un Dv donné.

Comme DE = m v Dv + ½ m (Dv)2, DE est maximum quand v est maximum (et r minimum) : on déclenchera donc le moteur au périgée, point de la trajectoire le plus proche du centre de la Terre.