Correction
Vitesse et période

Le nombre de satellites gravitant autour de la terre est si important qu’il constitue un véritable « nuage ». 
Les satellites interviennent dans de nombreux domaines comme la météo, les télécommunications, la défense militaire ou la recherche en physique.
On s’intéresse ici à des satellites de masses toutes différentes les unes des autres, tous en mouvement circulaire uniforme centré sur le centre de la Terre. On rappelle la valeur du rayon terrestre :
RT = 6380 km.

1. Utiliser le simulateur pour déterminer la période T de révolution et la vitesse v des satellites suivants :

- NOAA 10 (météo) d’altitude z = 803 km,

La vitesse v est : 7,45 km · s-1  et la période de révolution T est : 1 h 40 min 	

- IRIDIUM 29 (télécommunication) d’altitude 
z =  801 km,

La vitesse v est : 7,45 km · s-1  et la période de révolution T est : 1 h 40 min

- ERS-2 (météo) d’altitude z = 803 km

La vitesse v est : 7,45 km · s-1 et la période de révolution T est : 1 h 40 min		

- TOPEX-POSEIDON (géophysique et météo) d’altitude z =1350 km,

La vitesse v est : 7,19 km · s-1 et la période de révolution T est : 1 h 52 min

- HST (astronomie) d’altitude z =610 km,

La vitesse v est : 7,58 km · s-1 et la période de révolution T est : 1 h 36 min	

- INMARSAT-3-F4 d’altitude z = 35 750 km,

La vitesse v est : 3,08 km · s-1 et la période de révolution T est : 23 h 56 min	

- GPS-BII-05 (défense US) d’altitude 
z =  20 446 km.

La vitesse v est : 3,84 km · s-1 et la période de révolution T est : 11 h 57 min

2. Vitesse et période dépendent-elles de la masse du satellite ? 

D’après les mesures précédentes, les trois premiers satellites ont des masses différentes et cependant même vitesse et même période : vitesse et période ne dépendent donc pas de la masse.

3. Commenter l’évolution de la grandeur v2  avec le rayon r = RT + z de la trajectoire, puis représenter l’évolution de v2 avec 1 / r.
Quelle relation simple lie ces deux grandeurs ? 

v2 diminue quand l’altitude z augmente, donc quand r augmente.
Le graphe représentatif est modélisé par une droite passant par l’origine des axes, on a donc 
v2 = k ( 1/r )
et la valeur de k est donnée par le coefficient directeur de la droite soit :
k = 3,99 · 1014 unités S.I.

4. Justifier cette relation en appliquant la deuxième loi de Newton au satellite, qu’on supposera de masse m et uniquement soumis à la force  de gravitation exercée par la Terre.

On a :  = G m MT   
si on exprime  la force de gravitation dans la base de Frénet (, ). 
La deuxième loi de Newton, écrite dans le référentiel géocentrique, permet de relier les vecteurs force et accélération :
m  = 
or  = (v2 / r)  dans un mouvement circulaire uniforme d’où :
v2 = G MT / r = g R  / r
(g est l’intensité de la pesanteur à la surface terrestre).
On obtient ainsi une relation analogue à celle trouvée au 3. dans laquelle on identifie k avec g R .
Or g R  = 3,99 · 1014 unités S.I.
C’est la valeur trouvée à l’aide du graphique.

5. Pour deux satellites évoluant respectivement aux distances r1 et r2 du centre de la Terre avec les périodes T1 et T2, choisir la relation exacte en justifiant :
		T2 = T1 r2 / r1
		T2 = T1 (r2 / r1)3/2
		T2 = T1 (  )3/2

C’est la deuxième relation qui est exacte puisque 
T = 2p r / v = 2p r3/2 / (RT g2) soit T / r3/2 = constante.

6. À quelle loi plus générale peut-on rattacher cette relation ?

Cette relation correspond à la troisième loi de Kepler appliquée à des objets en mouvement circulaire autour de la Terre.