Correction
Oscillateur entretenu et énergie

Un condensateur de capacité C = 4 µF est chargé complètement sous la tension U = 10 V.
Il est connecté, à la date t = 0, à une bobine d'inductance L = 600 mH et de résistance r = 5 W, en série avec une résistance R2 = 500 W et avec un dipôle chargé d'assurer l'entretien des oscillations du circuit formé.

1. Prévoir la valeur de l'énergie qui se trouve initialement stockée dans le condensateur. 
Vérifier avec le simulateur en affichant la courbe donnant l'énergie stockée dans le condensateur en fonction du temps.

À t = 0, le condensateur est complètement chargé :
uC = U    et    Ec(0) = ½ C U2 = 200 µJ

2. Visualiser, au cours du temps, l'évolution de la tension aux bornes du condensateur pendant une durée de 50 ms puis pendant 10 ms. 
Est-elle périodique ? 
Si oui, donner sa période T0 et son amplitude Um

Elle est périodique. 
Sa période est égale à T0 = 9,7 ms et son amplitude est Um =  U = 10 V.

3. On admet, pour cette tension, l'expression :
uC(t) = U cos (  ) 
Visualiser l'énergie Ec stockée dans le condensateur en fonction de la date t.
Quelle est sa période et son amplitude ? 
Justifier les valeurs trouvées. 

L'allure de l'énergie Ec est sinusoïdale. 
Sa période est égale à 4,9 ms soit la valeur de T0 / 2 et son amplitude vaut 200 µJ soit la valeur de :
Ec (0) = ½ C U2
En exprimant uC(t), on obtient :
Ec = ½ C uC2 = ¼ C U2 ( 1 + cos(  ) )
Cette fonction est effectivement sinusoïdale, de période T0 / 2 et d'amplitude ½ C U2

4. Visualiser l'évolution, au cours du temps, de la tension u2  aux bornes du conducteur ohmique de résistance R2 .
Imprimer cette courbe puis comparer son évolution avec l'intensité du courant dans le circuit.
Quelle relation lie ces deux grandeurs ?

Les courbes sont homothétiques l'une de l'autre :  

u2 = R2 i    ou    i = u2 / R2

5. On admet pour l'intensité i du courant l'expression :
i(t) = Im cos (  +  )  
Visualiser la courbe i(t) ou la courbe u2(t) et donner la valeur des grandeurs Im et T.  
Visualiser l'énergie stockée Eb dans la bobine en fonction de la date t. 
Comparer sa période à la période T0 des variations de uC et son amplitude à L Im2 . 
Justifier les résultats.

Im correspond à l' amplitude et T à la période de la fonction i(t).
On lit sur le graphe : 
Im = 25,8 mA   et   T = T0 = 9,7 ms.
L'intensité varie avec la même période que la tension uC(t).
Pour Eb(t), l'allure est périodique sinusoïdale, la période est T0 / 2, l'amplitude ½ L Im2.
En effet :
Eb(t) = ½ L i 2  = ½ L ( Im cos (  +  ) )2  
	= ¼ L Im2 ( 1 + cos (  + p ) ) 
	= ¼ L Im2 ( 1 - cos (  ) ) 

6. Comment évolue la grandeur Ec + Eb en fonction du temps ?
Exprimer cette grandeur de deux façons différentes et montrer que l'on peut en déduire la valeur maximale Im de l'intensité .
  
L'énergie Ec + Eb reste constante au cours du temps. La valeur de cette constante peut être évaluée quand l'énergie Ec est maximale et Eb nulle. Elle est, dans ce cas, égale à ½ C U2.
Quand Eb est maximale et Ec nulle, elle est, dans ce cas, égale à ½ L Im2.
D'où Im = U ( C / L )½ = 25,8 mA.

7. Exprimer la puissance P2  perdue par effet Joule dans la résistance R2 en fonction de l'intensité.
Imprimer le graphe de l'évolution avec le temps de l'énergie stockée dans la bobine . Représenter P2 en fonction du temps sur ce même graphe.
L'énergie perdue par effet Joule dans la résistance R2 de la date t = 0 jusqu'à la date T0 / 2 est-elle nulle ?
Par quoi serait elle représentée sur ce graphe ? 
Proposer une évaluation de sa valeur.

La résistance perd, par effet joule, toute la puissance électrique reçue : P2 = u2 i = R2 i 2.
Comme Eb(t)  = ½ L i 2, P2 = 2 R2 Eb / L, le graphe de P2  est  homothétique de celui de Eb : on a une sinusoïde variant de 0 à la valeur R2 Im2, avec la période T0 / 2 .
L'énergie perdue par effet joule dans la résistance R2, depuis  la date t = 0 jusqu'à la date T0 / 2, s'écrit :
Ej = òP2(t) dt
Elle n'est, donc, pas nulle : elle est représentée par l'aire de la surface délimitée par la courbe représentative de P2(t) , l'axe des temps et les verticales t = 0 et t = T0 / 2. 
On constate que la courbe P2(t) est symétrique par rapport à l'horizontale P = R2 Im2 / 2, les portions délimitées par la courbe P2(t) et l'horizontale ont même surface, qu'elles soient au dessus ou au dessous de l'horizontale.
En « rabattant » la portion d'aire située au dessus de l'horizontale P = R2 Im2 / 2 dans l'espace vide au dessus de la courbe, on obtient l'aire d'un rectangle de largeur T0 / 2, de hauteur R2 Im2 /2
L'aire correspondant à Ej peut, donc, être évaluée par R2 Im2 × T0 / 4.

8. Pourquoi alors l'énergie totale stockée Ec + Eb ne décroît-elle pas  ?
Pourquoi peut-on dire que le dipôle d'entretien fonctionne « par bouffées » ?

Le dipôle d'entretien apporte, à chaque instant, la puissance perdue par effet joule dans le circuit de sorte que l'énergie totale Ec + Eb reste constante.
La puissance apportée par le dipôle d'entretien est proportionnelle au carré de l'intensité instantanée : cette fonction étant périodique, oscillant entre la valeur 0 et la valeur Im2, la puissance apportée a la même forme de variation. 
Le débit d'énergie n'est donc pas constant mais se fait par « bouffées ».