PRINCIPE DE HUYGHENS-FRESNEL

Le problème générale de la diffraction

Considérons une onde incidente monochromatique qui éclaire un objet quelconque. L'onde émergente ou onde diffractée dépend de la forme et des propriétés optiques de l'objet diffractant. Une solution rigoureuse du problème consisterait à chercher les solutions des équations de Maxwell (relations fondamentales applicables aux ondes électromagnétiques), compatibles avec les conditions aux limites imposées par l'objet diffractant et l'onde incidente. Une telle démarche est en faite très ardue. Heureusement, il existe une solution approchée applicable aux situations usuelles.

Transparence d'une pupille diffractante

fig.1 : transmission d'une lame de verre sous incidence normale

Une ouverture transparente pratiquée dans un écran plat opaque est appelé pupille (fig.1).

P étant un point de la surface S d'une pupille, la transparence complexe (ou fonction de transmission) t(P) est définit par :

si(P,t) est l'amplitude que l'onde incidente aurait en P en l'absence de pupille diffractante.

s*(P,t) est l'amplitude que l'on observerait en P en l'absence de diffraction, c'est à dire suivant les lois de l'optique géométrique.

En particulier :

- t(P)=0 si l'objet diffractant est opaque en P ;

- t(P)=1 au niveau du trou ;

Principe de Huyghens-Fresnel

On associe à la pupille diffractante une longueur caractéristique : le diamètre pour un trou, la largeur s'il s'agit d'une fente, la période spatiale si t est périodique.

Fig.2 : Principe de Huyghens-Fresnel.

Tous les points de la pupille S émettent des ondes secondaires qui interfèrent en M

L'onde diffractée par une pupille S, caractérisée par une fonction de transmission t(P), est égale à la superposition d'ondelettes émises par tous les points de S (voir figure suivante).

Fig.3 : principe de Huyghens-Fresnel-émission des sources secondaires

On admet que si la longueur caractéristique de t(P) est grande devant la longueur d'onde, un élément d'aire dS, situé au voisinage du point P de S, émet une onde dont l'amplitude en un point M situé à grande distance et dans une direction voisine de la normale à S est :

avec K une constante complexe propre à chaque dispositif, t(P) la fonction de transmission de S, si(P) l'amplitude complexe en P de l'onde incidente en l'absence d'objet diffractant et l'exponentielle représente le déphasage lié à la propagation entre P et M.


DIFFRACTION DE FRAUNHOFER D'UNE ONDE PLANE

La figure de diffraction de Fraunhofer est celle que l'on observe à l'infini, ou dans le plan focale image d'une lentille (fig.5).

Montage expérimentale

Fig.5 : Diffraction à l'infini d'une onde plane par la pupille S ;

Une onde plane incidente, de vecteur d'onde ki éclaire une pupille plane, de transparence t(P)=t(x,y), normale à l'axe (Oz) et contenant le point 0. (x,y) représentent les coordonnées du point P, et (X,Y) celles du point M d'observation.

A chaque point M correspond, dans l'espace objet de la lentille, une direction de propagation de vecteur unitaire u(m), et donc un vecteur d'onde k(M). Le système est supposé plongé dans un milieu homogène d'indice 1.

Calcul de la phase

En un point M à l'infini (ou situé dans le plan focale d'une lentille), la phase de l'onde secondaire émie par un point P d'une pupille diffractante s'exprime en fonction de la position du point P, et des vecteurs d'onde ki de l'onde incidente et k(M) de l'onde émergente  par :

Le premier terme, qui ne dépend pas du point P, représente la phase en M de l'onde secondaire émise par le point O de la pupille.

Calcul de l'amplitude

L'onde issue de la diffraction d'une onde plane monochromatique par une pupille plane S contenue dans le plan (xOy) a pour expression, en un point M à l'infini :

L'intensité en un point se calcule par I=s.s*

Cette expression de I(M) ne permet pas de déterminer la valeur exacte du flux lumineux en M, mais ses variations relatives d'un point à l'autre du plan d'observation.

Relation entre la fonction de transparence et la figure de diffraction

On admet les résultats suivants.

Une dilatation de la pupille, parallèlement à une direction donnée, entraîne une contraction dans le même rapport et parallèlement à la même direction de la figure de diffraction de Fraunhofer.

La largeur de la pupille diffractante et la largeur angulaire de la figure de diffraction de Fraunhofer selon la même direction sont telles que :

Lors d'une translation de la pupille diffractante, l'amplitude de l'onde diffractée en un point du plan focale image d'une lentille ne subit qu'un déphasage uniforme. L'intensité de la figure de diffraction n'est pas modifiée par la translation.

Les figures de diffraction d'un trou percé dans un écran opaque, et d'un cache opaque de même forme que le trou sont identiques, à l'exception d'une tache lumineuse au centre dans le cas du trou. Cette propriété connue sous le nom de théorème de Babinet se vérifie aisément en pratique.


DIFFRACTION DE FRAUNHOFER D'UNE ONDE PLANE PAR UNE OUVERTURE RECTANGULAIRE

La fonction de transmission d'une ouverture rectangulaire de dimensions (a,b) centrée en O est :

 t(x,y) = 1  si a/2<x<a/2  et  -b/2<y<b/2

 et  t(x,y) = 0  en dehors.

L'amplitude en un point M à l'infini de l'onde diffracté par une pupille rectangulaire de dimension a (selon (Ox)) et b (selon (Oy)) est :

sinc est la fonction sinus cardinal définie par : sinc(u) = sin(u) / u

Le graphe de la fonction sinc(u) est représenté sur la figure 6. La fonction est paire ; son maximum égal à 1 est obtenu pour u=0 ; elle s'annule pour les multiples de pi ; Entre deux annulations, on observe des extrema secondaires d'amplitudes de plus en plus faible ;

Fig.6 : fonction sinus cardinal

L'intensité I(M)=s(M,t).s*(M,t) a pour expression :

La figure de diffraction est centrée sur la direction du faisceau incident ;

L'intensité s'annule si :

Ces directions se manifestent sur la figure de diffraction par des raies noires ; la tache centrale a une largeur :

Les taches secondaires sont deux fois moins larges dans les deux dimensions ;

La tache centrale est la plus lumineuse. Elle reçoit quasiment 84 % du flux lumineux total

Cas de la fente fine

Fig.8 : diffraction par une fente fine.

Le plan d'incidence est normal à la fente

Lorsqu'une onde plane est diffractée par une fente fine de longueur L très grande devant la longueur d'onde, la diffraction se limite aux directions normales à la fente (figure 8).

L'amplitude en un point à l'infini a pour expression :

et son intensité a pour expression (figure 9 et 10) :

Fig.9 : diffraction par une fente fine.

L'angle d'incidence est nul.

La tache centrale, deux fois plus large que les taches secondaires et beaucoup plus lumineuse, a pour largeur angulaire :

Dans le plan focal d'une lentille de distance focale image f' la tache centrale a pour largeur :


EXEMPLES DE FIGURES DE DIFFRACTION

Les fentes de Young

Fig.11 :  fentes de Young

Une plaque opaque dans laquelle deux fentes longues sont percées (voir fig.11), d'épaisseur e et de distance a, est éclairée par une onde plane monochromatique. Il s'agit de déterminer la figure de diffraction obtenue dans le plan focal image d'une lentille de distance focale image f'. On utilise le repère (OX,OY) dont l'origine O est confondue avec le foyer image f'.

Le phénomène de diffraction ne se produit que selon la direction (Ox). La figure de diffraction, dans le plan d'observation, est donc localisée sur la droite :

Le terme d'interférence est celui de deux sources ponctuelles distantes de a :

Le terme de diffraction est celui d'une fente de largeur e :

En conclusion :

Le terme de diffraction module l'amplitude des interférences (fig.12).

Fig.12 : figure de diffraction-interférences

Dans le plan focal d'une lentille de distance focale image f', la période des pics d'intensité est de :

Diffraction par un réseau plan

Un réseau plan est une pupille dont la transparence t(x) est unidimensionnelle et périodique (figure ci-dessous). Il est composé de N motifs identiques, de période spatiale ou pas a. N est en général très grand (de l'ordre de 1000 traits/mm).

Fig.13 : diffraction par un réseau

L'intensité en un point M à l'infini de l'onde diffractée par un réseau éclairé par une onde plane monochromatique est de la forme :

Io |FD(M)|² est l'intensité de l'onde diffractée par un seul motif ;

|Fi (M)|² passe par des maxima très aigus (Fig.14), si la direction de diffraction et la direction de l'onde incidente sont liées par la relation :

Fig.14 : figure d'interférences d'un réseau

A chaque valeur de p correspond un ordre de diffraction. Les maxima d'intensité dépendent de la longueur d'onde à l'exception de l'ordre 0.

Dans le plan focal d'une lentille de distance focale image f', la période des pics d'intensité est de :